Førstegradsligninger #

Læs først om teori nedenfor, hvis du ikke (ligenu) har fået en introduktion.

Ligningstjekker #

Vejledning: Opskriv selv en ligning i øverste kasse. Omskriv ligningen en gang med henblik på at isolere den ubekendte. Tryk enter for at tjekke om omskrivningen er korrekt; hvis den er korrekt, så kommer der endnu en kasse, hvor du kan skrive næste omskrivning. Når den ubekendte til sidst er isoleret, får kassen en massiv grøn farve (og der vises evt. en fejring).

Vis fejring ved løsning af ligningen


Indlæs ligning (ved at klikke på den):

Hvis du oplever problemer, så kan du prøve den gamle version.

Teori om at isolere i ligninger #

En meget anvendt metode til ligningsløsning er at isolere den ubekendte (ofte \(x\)) i ligningen; det betyder, at vi får den ubekendte til at stå alene på den ene side af ligningen. Der vil vi “flytte” alt andet end den ubekendte over på den anden side af ligningen. Når man gør det, så skal der overholdes nogle principper, og der er nogle fif, som gør det nemmere at finde ud af, hvad man skal gøre (først).

To ligninger kaldes ækvivalente, hvis de har de samme løsninger. Når man omskrivninger ligninger for at løse en ligning, så vil man netop omskrive til en ækvivalent ligning, så man til sidst kan finde løsningen (eller løsningerne) til den oprindelige ligning. Det sørger for at holde ligningerne ækvivalente vha. balanceprincippet. Gentagen brug af omvendte operationer gør det nemmere at finde ud af, hvordan man “flytter” dele af ligningen over på den anden side. Vi gennemgår de sidstnævnte begreber i større detalje nedenfor.

Balanceprincippet #

Balanceprincippet går ud på at holde balance i ligningen. Her tænker vi på, at lighedstegnet udtrykker en ligevægt mellem venstre og højre side af ligningen. Vi opretholder ligevægten ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af ligningen.

Skålvægt

Kilde: winnifredxoxo

Inden vi bruger princippet, skal du lige have et godt mentalt billede på balanceprincippet. Billedet viser en skålevægt. Stangen øverst står vandret, hvis man lægger samme masse i begge skåle, altså lige mange gram på hver skål. Hvis man skal lave en ændring på den ene side, så skal man lave samme ændring på den anden side, hvis man vil bevare ligevægten. Man kan f.eks. fjerne 3 gram på begge sider og beholde ligevægten. Man kan også halvere massen på begge sider uden at ødelægge ligevægten. Hvis man kun fjerner 5 gram på den ene side, så bryder man dog ligevægten.

I eksempel 1 nedenfor bruges balanceprincippet rent matematisk. Først trækkes 3 fra på begge sider af lighedstegnet, hvilket bibeholder ligevægten. Når vi reducerer, så ændrer vi ikke på værdierne af højre og venstre side, så der er heller ikke gjort noget ved ligevægten. Der divideres ligeledes med 2 på begge sider, hvilket også bevarer ligevægten.

Eksempel 1 Vi løser ligningen \( 2x + 3 = 11: \)

\[ \begin{aligned} 2x + 3 &= 11 & \quad & \text{Vi trækker 3 fra på begge sider.}\\ 2x + 3 - 3 &= 11 - 3 & \quad & \text{Vi reducerer.} \\ 2x &= 8 & \quad &\text{Vi dividerer med 2 fra på begge sider.} \\ \frac{2x}{2} &= \frac{8}{2} & \quad &\text{Vi reducerer (2 går ud med 2 i brøken).} \\ x &=4 & \quad &\text{Nu er }x\text{ isoleret.} \end{aligned} \]

Omvendte operationer #

Vi tager udgangspunkt i eksempel 1 ovenfor. I øverste ligning er \( 2x + 3\), der siger, at den ubekendte skal ganges med 2, og at der derefter skal lægges 3 til. Rækkefølgen kommer af regningsarternes hierarki – læs gerne afsnittet nedenfor nu og vend så tilbage. Som det første trækker vi 3 fra på begge sider, netop fordi det er det modsatte af at lægge 3 til. På den måde slipper vi af med +3 på venstre side af lighedstegnet, så vi er tættere på at have isoleret \(x\).

Der står så \(2x\) tilbage på venstre side af ligningen. Her står 2 ganget med den ubekendte; derfor gør vi igen det modsatte og dividerer med 2. På den måde får vi isoleret \(x\) i ligningen.

Man siger, at “minus 3” er den omvendte operation af operationen “plus 3”. Tilsvarende er “divideret med 2” den omvendte operation af operationen “gange 2”. Ved at kigge på operationerne i ligningen kan vi således hurtigt finde de operationer, som hjælper os med at få isoleret den ubekendte.

Er det så ligegyldigt hvilken omvendt operation vi bruger først? Nej, ikke helt. Det viser sig at være nemmest at starte nederst i regningsarternes hierarki og prøve at bruge de operationer først, så kan man arbejde sig opad i hierarkiet. Hvis vi i eksempel 1 havde divideret med 2 som det første, så skulle vi også have divideret leddet 3 med 2, hvilket havde givet lidt flere mellemregninger.

Regningsarternes hierarki #

Regningsarternes hierarki afgør, hvilken rækkefølge forskellige regninger skal udføres i. Parenteser bruges til at bryde denne rækkefølge – de nemlig beregnes allerførst. Rækkefølgen er:

  1. Parenteser beregnes.
  2. Potenser og rødder beregnes.
  3. Produkter og brøker beregnes.
  4. Summer og differenser beregnes.

Mere skematisk har vi:

  1. ( )
  2. \(a^n\) og \(\sqrt[n]a\)
  3. \(a \cdot b\) og \(a : b\)
  4. \(a - b\) og \(a + b\)

Når to operationer der står på samme, betyder det, at rækkefølgen, man udfører dem i, er uden betydning for resultatet. Operationer der er hinandens omvendte operationer står netop på samme linje i hierarkiet.

Teknisk om ligningstjekkeren #

Ligningstjekkeren:

  • er kun bygget til førstegradsligninger
  • tillader både komma og punktum i decimaltal
  • tillader både brøker og tilnærmede værdier som løsninger (tilnærmede værdier skal være korrekte på de første 6 betydende cifre)